冒泡排序

冒泡排序（bubble sort）通过连续地比较与交换相邻元素实现排序。这个过程就像气泡从底部升到顶部一样，因此得名冒泡排序。

如下图所示，冒泡过程可以利用元素交换操作来模拟：从数组最左端开始向右遍历，依次比较相邻元素大小，如果“左元素 > 右元素”就交换二者。遍历完成后，最大的元素会被移动到数组的最右端。

算法流程

设数组的长度为 $n$ ，冒泡排序的步骤如下图所示。

首先，对 $n$ 个元素执行“冒泡”，将数组的最大元素交换至正确位置。
接下来，对剩余 $n - 1$ 个元素执行“冒泡”，将第二大元素交换至正确位置。
以此类推，经过 $n - 1$ 轮“冒泡”后，前 $n - 1$ 大的元素都被交换至正确位置。
仅剩的一个元素必定是最小元素，无须排序，因此数组排序完成。

示例代码如下：

def bubble_sort(nums: list[int]):
    """冒泡排序"""
    n = len(nums)
    # 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for i in range(n - 1, 0, -1):
        # 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for j in range(i):
            if nums[j] > nums[j + 1]:
                # 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                nums[j], nums[j + 1] = nums[j + 1], nums[j]

效率优化

我们发现，如果某轮“冒泡”中没有执行任何交换操作，说明数组已经完成排序，可直接返回结果。因此，可以增加一个标志位 flag 来监测这种情况，一旦出现就立即返回。

经过优化，冒泡排序的最差时间复杂度和平均时间复杂度仍为 $O(n^2)$ ；但当输入数组完全有序时，可达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。

def bubble_sort_with_flag(nums: list[int]):
    """冒泡排序（标志优化）"""
    n = len(nums)
    # 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for i in range(n - 1, 0, -1):
        flag = False  # 初始化标志位
        # 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for j in range(i):
            if nums[j] > nums[j + 1]:
                # 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                nums[j], nums[j + 1] = nums[j + 1], nums[j]
                flag = True  # 记录交换元素
        if not flag:
            break  # 此轮“冒泡”未交换任何元素，直接跳出

算法特性

时间复杂度为 $O(n^2)$ 、自适应排序：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$ 、 $n - 2$ 、 $\dots$ 、 $2$ 、 $1$ ，总和为 $(n - 1) n / 2$ 。在引入 flag 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。
空间复杂度为 $O(1)$ 、原地排序：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。
稳定排序：由于在“冒泡”中遇到相等元素不交换。