二叉树数组表示
在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。上一节介绍了链表表示下的二叉树的各项基本操作。
那么，我们能否用数组来表示二叉树呢？答案是肯定的。
表示完美二叉树
先分析一个简单案例。给定一棵完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。
根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若某节点的索引为 i ，则该节点的左子节点索引为 2i+1 ，右子节点索引为 2i+2 。下图展示了各个节点索引之间的映射关系。
映射公式的角色相当于链表中的节点引用（指针）。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。
表示任意二叉树
完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多 None 。由于层序遍历序列并不包含这些 None ，因此我们无法仅凭该序列来推测 None 的数量和分布位置。这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。
如下图所示，给定一棵非完美二叉树，上述数组表示方法已经失效。
为了解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 None 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。示例代码如下：
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tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
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值得说明的是，完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，None 只出现在最底层且靠右的位置，因此所有 None 一定出现在层序遍历序列的末尾。
这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 None ，非常方便。下图给出了一个例子。
以下代码实现了一棵基于数组表示的二叉树，包括以下几种操作。
- 给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点。
- 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列。
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| class ArrayBinaryTree:
"""数组表示下的二叉树类"""
def __init__(self, arr: list[int | None]):
"""构造方法"""
self._tree = list(arr)
def size(self):
"""列表容量"""
return len(self._tree)
def val(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的值"""
if i < 0 or i >= self.size():
return None
return self._tree[i]
def left(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的左子节点的索引"""
return 2 * i + 1
def right(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的右子节点的索引"""
return 2 * i + 2
def parent(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的父节点的索引"""
return (i - 1) // 2
def level_order(self) -> list[int]:
"""层序遍历"""
self.res = []
for i in range(self.size()):
if self.val(i) is not None:
self.res.append(self.val(i))
return self.res
def dfs(self, i: int, order: str):
"""深度优先遍历"""
if self.val(i) is None:
return
if order == "pre":
self.res.append(self.val(i))
self.dfs(self.left(i), order)
if order == "in":
self.res.append(self.val(i))
self.dfs(self.right(i), order)
if order == "post":
self.res.append(self.val(i))
def pre_order(self) -> list[int]:
"""前序遍历"""
self.res = []
self.dfs(0, order="pre")
return self.res
def in_order(self) -> list[int]:
"""中序遍历"""
self.res = []
self.dfs(0, order="in")
return self.res
def post_order(self) -> list[int]:
"""后序遍历"""
self.res = []
self.dfs(0, order="post")
return self.res
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| """Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
arr = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
root = list_to_tree(arr)
print("\n初始化二叉树\n")
print("二叉树的数组表示：")
print(arr)
print("二叉树的链表表示：")
print_tree(root)
abt = ArrayBinaryTree(arr)
i = 1
l, r, p = abt.left(i), abt.right(i), abt.parent(i)
print(f"\n当前节点的索引为 {i} ，值为 {abt.val(i)}")
print(f"其左子节点的索引为 {l} ，值为 {abt.val(l)}")
print(f"其右子节点的索引为 {r} ，值为 {abt.val(r)}")
print(f"其父节点的索引为 {p} ，值为 {abt.val(p)}")
res = abt.level_order()
print("\n层序遍历为：", res)
res = abt.pre_order()
print("前序遍历为：", res)
res = abt.in_order()
print("中序遍历为：", res)
res = abt.post_order()
print("后序遍历为：", res)
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优点与局限性
二叉树的数组表示主要有以下优点。
- 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
- 不需要存储指针，比较节省空间。
- 允许随机访问节点。
然而，数组表示也存在一些局限性。
- 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
- 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
- 当二叉树中存在大量
None 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。