n 皇后问题

question

根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与同处一行、一列或一条斜线上的棋子。给定 $n$ 个皇后和一个 $n \times n$ 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。

如下图所示，当 n=4n = 4 时，共可以找到两个解。从回溯算法的角度看，n×nn \times n 大小的棋盘共有 n2n^2 个格子，给出了所有的选择 choices 。在逐个放置皇后的过程中，棋盘状态在不断地变化，每个时刻的棋盘就是状态 state 。

4 皇后问题的解

下图展示了本题的三个约束条件：多个皇后不能在同一行、同一列、同一条对角线上。值得注意的是，对角线分为主对角线 \ 和次对角线 / 两种。

n 皇后问题的约束条件

逐行放置策略

皇后的数量和棋盘的行数都为 nn ，因此我们容易得到一个推论：棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后。

也就是说，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。

下图所示为 4 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制，下图仅展开了第一行的其中一个搜索分支，并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。

逐行放置策略

从本质上看，逐行放置策略起到了剪枝的作用，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。

列与对角线剪枝

为了满足列约束，我们可以利用一个长度为 nn 的布尔型数组 cols 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 cols 将已有皇后的列进行剪枝，并在回溯中动态更新 cols 的状态。

tip

请注意，矩阵的起点位于左上角，其中行索引从上到下增加，列索引从左到右增加。

那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 (row,col)(row, col) ，选定矩阵中的某条主对角线，我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引都相等，即主对角线上所有格子的 row−colrow - col 为恒定值。

也就是说，如果两个格子满足 row1−col1=row2−col2row_1 - col_1 = row_2 - col_2 ，则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律，我们可以借助下图所示的数组 diags1 记录每条主对角线上是否有皇后。

同理，次对角线上的所有格子的 row+colrow + col 是恒定值。我们同样也可以借助数组 diags2 来处理次对角线约束。

处理列约束和对角线约束

代码实现

请注意，nn 维方阵中 row−colrow - col 的范围是 [−n+1,n−1][-n + 1, n - 1] ，row+colrow + col 的范围是 [0,2n−2][0, 2n - 2] ，所以主对角线和次对角线的数量都为 2n−12n - 1 ，即数组 diags1 和 diags2 的长度都为 2n−12n - 1 。

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def backtrack(
    row: int,
    n: int,
    state: list[list[str]],
    res: list[list[list[str]]],
    cols: list[bool],
    diags1: list[bool],
    diags2: list[bool],
):
    """回溯算法：n 皇后"""
    # 当放置完所有行时，记录解
    if row == n:
        res.append([list(row) for row in state])
        return
    # 遍历所有列
    for col in range(n):
        # 计算该格子对应的主对角线和次对角线
        diag1 = row - col + n - 1
        diag2 = row + col
        # 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、次对角线上存在皇后
        if not cols[col] and not diags1[diag1] and not diags2[diag2]:
            # 尝试：将皇后放置在该格子
            state[row][col] = "Q"
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = True
            # 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
            # 回退：将该格子恢复为空位
            state[row][col] = "#"
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = False


def n_queens(n: int) -> list[list[list[str]]]:
    """求解 n 皇后"""
    # 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    state = [["#" for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    cols = [False] * n  # 记录列是否有皇后
    diags1 = [False] * (2 * n - 1)  # 记录主对角线上是否有皇后
    diags2 = [False] * (2 * n - 1)  # 记录次对角线上是否有皇后
    res = []
    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)

    return res

逐行放置 nn 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 nn、n−1n-1、…\dots、22、11 个选择，使用 O(n!)O(n!) 时间。当记录解时，需要复制矩阵 state 并添加进 res ，复制操作使用 O(n2)O(n^2) 时间。因此，总体时间复杂度为 O(n!⋅n2)O(n! \cdot n^2) 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。

数组 state 使用 O(n2)O(n^2) 空间，数组 cols、diags1 和 diags2 皆使用 O(n)O(n) 空间。最大递归深度为 nn ，使用 O(n)O(n) 栈帧空间。因此，空间复杂度为 O(n2)O(n^2) 。