全排列问题

全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出其中元素的所有可能的排列。

下表列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。

表   全排列示例

输入数组 所有排列
[1][1] [1][1]
[1,2][1, 2] [1,2],[2,1][1, 2], [2, 1]
[1,2,3][1, 2, 3] [1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1][1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]

无相等元素的情况

question

输入一个整数数组，其中不包含重复元素，返回所有可能的排列。

从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 [1,2,3][1, 2, 3] ，如果我们先选择 11 ，再选择 33 ，最后选择 22 ，则获得排列 [1,3,2][1, 3, 2] 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。

从回溯代码的角度看，候选集合 choices 是输入数组中的所有元素，状态 state 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，因此 state 中的所有元素都应该是唯一的。

如下图所示，我们可以将搜索过程展开成一棵递归树，树中的每个节点代表当前状态 state 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。

全排列的递归树

重复选择剪枝

为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 selected ，其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被选择，并基于它实现以下剪枝操作。

  • 在做出选择 choice[i] 后，我们就将 selected[i] 赋值为 True\text{True} ，代表它已被选择。
  • 遍历选择列表 choices 时，跳过所有已被选择的节点，即剪枝。

如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。

全排列剪枝示例

观察上图发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 O(nn)O(n^n) 减小至 O(n!)O(n!) 。

代码实现

想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短整体代码，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将它们展开在 backtrack() 函数中：

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def backtrack(
    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：全排列 I"""
    # 当状态长度等于元素数量时，记录解
    if len(state) == len(choices):
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    for i, choice in enumerate(choices):
        # 剪枝：不允许重复选择元素
        if not selected[i]:
            # 尝试：做出选择，更新状态
            selected[i] = True
            state.append(choice)
            # 进行下一轮选择
            backtrack(state, choices, selected, res)
            # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            selected[i] = False
            state.pop()


def permutations_i(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
    """全排列 I"""
    res = []
    backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
    return res

考虑相等元素的情况

question

输入一个整数数组，**数组中可能包含重复元素**，返回所有不重复的排列。

假设输入数组为 [1,1,2][1, 1, 2] 。为了方便区分两个重复元素 11 ，我们将第二个 11 记为 1^\hat{1} 。

如下图所示，上述方法生成的排列有一半是重复的。

重复排列

那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希集合，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支没有必要，应当提前识别并剪枝，这样可以进一步提升算法效率。

相等元素剪枝

观察下图，在第一轮中，选择 11 或选择 1^\hat{1} 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 1^\hat{1} 剪枝。

同理，在第一轮选择 22 之后，第二轮选择中的 11 和 1^\hat{1} 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 1^\hat{1} 剪枝。

从本质上看，我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次。

重复排列剪枝

代码实现

在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希集合 duplicated ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝：

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def backtrack(
    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：全排列 II"""
    # 当状态长度等于元素数量时，记录解
    if len(state) == len(choices):
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    duplicated = set[int]()
    for i, choice in enumerate(choices):
        # 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
        if not selected[i] and choice not in duplicated:
            # 尝试：做出选择，更新状态
            duplicated.add(choice)  # 记录选择过的元素值
            selected[i] = True
            state.append(choice)
            # 进行下一轮选择
            backtrack(state, choices, selected, res)
            # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            selected[i] = False
            state.pop()
            # 不能有duplicated.pop()，因为是在一个for循环中有一个duplicated，记录的是这轮循环中哪些元素被选择过，如果在循环内add进来之后在pop出去就没有意义了


def permutations_ii(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
    """全排列 II"""
    res = []
    backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
    return res

假设元素两两之间互不相同，则 nn 个元素共有 n!n! 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 nn 的列表，使用 O(n)O(n) 时间。因此时间复杂度为 O(n!n)O(n!n) 。

最大递归深度为 nn ，使用 O(n)O(n) 栈帧空间。selected 使用 O(n)O(n) 空间。同一时刻最多共有 nn 个 duplicated ，使用 O(n2)O(n^2) 空间。因此空间复杂度为 O(n2)O(n^2) 。

两种剪枝对比

请注意，虽然 selected 和 duplicated 都用于剪枝，但两者的目标不同。

  • 重复选择剪枝：整个搜索过程中只有一个 selected 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，其作用是避免某个元素在 state 中重复出现。
  • 相等元素剪枝：每轮选择（每个调用的 backtrack 函数）都包含一个 duplicated 。它记录的是在本轮遍历（for 循环）中哪些元素已被选择过，其作用是保证相等元素只被选择一次。

下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。

两种剪枝条件的作用范围