图的基础操作

图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下，实现方式有所不同。

基于邻接矩阵的实现

给定一个顶点数量为 nn 的无向图，则各种操作的实现方式如下图所示。

  • 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 O(1)O(1) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
  • 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 00 即可，使用 O(n)O(n) 时间。
  • 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 (n−1)2(n-1)^2 个元素“向左上移动”，从而使用 O(n2)O(n^2) 时间。
  • 初始化：传入 nn 个顶点，初始化长度为 nn 的顶点列表 vertices ，使用 O(n)O(n) 时间；初始化 n×nn \times n 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 O(n2)O(n^2) 时间。

邻接矩阵的初始化、增删边、增删顶点

adjacency_matrix_add_edge

adjacency_matrix_remove_edge

adjacency_matrix_add_vertex

adjacency_matrix_remove_vertex

以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码：

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class GraphAdjMat:
    """基于邻接矩阵实现的无向图类"""

    def __init__(self, vertices: list[int], edges: list[list[int]]):
        """构造方法"""
        # 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
        self.vertices: list[int] = []
        # 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
        self.adj_mat: list[list[int]] = []
        # 添加顶点
        for val in vertices:
            self.add_vertex(val)
        # 添加边
        # 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for e in edges:
            self.add_edge(e[0], e[1])

    def size(self) -> int:
        """获取顶点数量"""
        return len(self.vertices)

    def add_vertex(self, val: int):
        """添加顶点"""
        n = self.size()
        # 向顶点列表中添加新顶点的值
        self.vertices.append(val)
        # 在邻接矩阵中添加一行
        new_row = [0] * n
        self.adj_mat.append(new_row)
        # 在邻接矩阵中添加一列
        for row in self.adj_mat:
            row.append(0)

    def remove_vertex(self, index: int):
        """删除顶点"""
        if index >= self.size():
            raise IndexError()
        # 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        self.vertices.pop(index)
        # 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        self.adj_mat.pop(index)
        # 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for row in self.adj_mat:
            row.pop(index)

    def add_edge(self, i: int, j: int):
        """添加边"""
        # 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
        # 索引越界与相等处理
        if i < 0 or j < 0 or i >= self.size() or j >= self.size() or i == j:
            raise IndexError()
        # 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        self.adj_mat[i][j] = 1
        self.adj_mat[j][i] = 1

    def remove_edge(self, i: int, j: int):
        """删除边"""
        # 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
        # 索引越界与相等处理
        if i < 0 or j < 0 or i >= self.size() or j >= self.size() or i == j:
            raise IndexError()
        self.adj_mat[i][j] = 0
        self.adj_mat[j][i] = 0

    def print(self):
        """打印邻接矩阵"""
        print("顶点列表 =", self.vertices)
        print("邻接矩阵 =")
        print_matrix(self.adj_mat)
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"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    # 初始化无向图
    # 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
    vertices = [1, 3, 2, 5, 4]
    edges = [[0, 1], [0, 3], [1, 2], [2, 3], [2, 4], [3, 4]]
    graph = GraphAdjMat(vertices, edges)
    print("\n初始化后，图为")
    graph.print()

    # 添加边
    # 顶点 1, 2 的索引分别为 0, 2
    graph.add_edge(0, 2)
    print("\n添加边 1-2 后，图为")
    graph.print()

    # 删除边
    # 顶点 1, 3 的索引分别为 0, 1
    graph.remove_edge(0, 1)
    print("\n删除边 1-3 后，图为")
    graph.print()

    # 添加顶点
    graph.add_vertex(6)
    print("\n添加顶点 6 后，图为")
    graph.print()

    # 删除顶点
    # 顶点 3 的索引为 1
    graph.remove_vertex(1)
    print("\n删除顶点 3 后，图为")
    graph.print()

基于邻接表的实现

设无向图的顶点总数为 nn、边总数为 mm ，则可根据下图所示的方法实现各种操作。

  • 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 O(1)O(1) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
  • 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 O(m)O(m) 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
  • 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 O(1)O(1) 时间。
  • 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 O(n+m)O(n + m) 时间。
  • 初始化：在邻接表中创建 nn 个顶点和 2m2m 条边，使用 O(n+m)O(n + m) 时间。

邻接矩阵的初始化、增删边、增删顶点

adjacency_list_add_edge

adjacency_list_remove_edge

adjacency_list_add_vertex

adjacency_list_remove_vertex

以下是邻接表的代码实现。对比上图，实际代码有以下不同。

  • 为了方便添加与删除顶点，以及简化代码，我们使用列表（动态数组）来代替链表。
  • 使用哈希表来存储邻接表，key 为顶点实例，value 为该顶点的邻接顶点列表（链表）。

另外，我们在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点，这样做的原因是：如果与邻接矩阵一样，用列表索引来区分不同顶点，那么假设要删除索引为 ii 的顶点，则需遍历整个邻接表，将所有大于 ii 的索引全部减 11 ，效率很低。而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例，删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。

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class GraphAdjList:
    """基于邻接表实现的无向图类"""

    def __init__(self, edges: list[list[Vertex]]):
        """构造方法"""
        # 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
        self.adj_list = dict[Vertex, list[Vertex]]()
        # 添加所有顶点和边
        for edge in edges:
            self.add_vertex(edge[0])
            self.add_vertex(edge[1])
            self.add_edge(edge[0], edge[1])

    def size(self) -> int:
        """获取顶点数量"""
        return len(self.adj_list)

    def add_edge(self, vet1: Vertex, vet2: Vertex):
        """添加边"""
        if vet1 not in self.adj_list or vet2 not in self.adj_list or vet1 == vet2:
            raise ValueError()
        # 添加边 vet1 - vet2
        self.adj_list[vet1].append(vet2)
        self.adj_list[vet2].append(vet1)

    def remove_edge(self, vet1: Vertex, vet2: Vertex):
        """删除边"""
        if vet1 not in self.adj_list or vet2 not in self.adj_list or vet1 == vet2:
            raise ValueError()
        # 删除边 vet1 - vet2
        self.adj_list[vet1].remove(vet2)
        self.adj_list[vet2].remove(vet1)

    def add_vertex(self, vet: Vertex):
        """添加顶点"""
        if vet in self.adj_list:
            return
        # 在邻接表中添加一个新链表
        self.adj_list[vet] = []

    def remove_vertex(self, vet: Vertex):
        """删除顶点"""
        if vet not in self.adj_list:
            raise ValueError()
        # 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        self.adj_list.pop(vet)
        # 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        for vertex in self.adj_list:
            if vet in self.adj_list[vertex]:
                self.adj_list[vertex].remove(vet)

    def print(self):
        """打印邻接表"""
        print("邻接表 =")
        for vertex in self.adj_list:
            tmp = [v.val for v in self.adj_list[vertex]]
            print(f"{vertex.val}: {tmp},")
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"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    # 初始化无向图
    v = vals_to_vets([1, 3, 2, 5, 4])
    edges = [
        [v[0], v[1]],
        [v[0], v[3]],
        [v[1], v[2]],
        [v[2], v[3]],
        [v[2], v[4]],
        [v[3], v[4]],
    ]
    graph = GraphAdjList(edges)
    print("\n初始化后，图为")
    graph.print()

    # 添加边
    # 顶点 1, 2 即 v[0], v[2]
    graph.add_edge(v[0], v[2])
    print("\n添加边 1-2 后，图为")
    graph.print()

    # 删除边
    # 顶点 1, 3 即 v[0], v[1]
    graph.remove_edge(v[0], v[1])
    print("\n删除边 1-3 后，图为")
    graph.print()

    # 添加顶点
    v5 = Vertex(6)
    graph.add_vertex(v5)
    print("\n添加顶点 6 后，图为")
    graph.print()

    # 删除顶点
    # 顶点 3 即 v[1]
    graph.remove_vertex(v[1])
    print("\n删除顶点 3 后，图为")
    graph.print()

效率对比

设图中共有 nn 个顶点和 mm 条边，下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间效率和空间效率。

表   邻接矩阵与邻接表对比

邻接矩阵 邻接表（链表） 邻接表（哈希表）
判断是否邻接 O(1)O(1) O(m)O(m) O(1)O(1)
添加边 O(1)O(1) O(1)O(1) O(1)O(1)
删除边 O(1)O(1) O(m)O(m) O(1)O(1)
添加顶点 O(n)O(n) O(1)O(1) O(1)O(1)
删除顶点 O(n2)O(n^2) O(n+m)O(n + m) O(n)O(n)
内存空间占用 O(n2)O(n^2) O(n+m)O(n + m) O(n+m)O(n + m)

观察上表，似乎邻接表（哈希表）的时间效率与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。