子集和问题

无重复元素的情况

question

给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。

例如，输入集合 {3,4,5}\{3, 4, 5\} 和目标整数 99 ，解为 {3,3,3},{4,5}\{3, 3, 3\}, \{4, 5\} 。需要注意以下两点。

  • 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
  • 子集不区分元素顺序，比如 {4,5}\{4, 5\} 和 {5,4}\{5, 4\} 是同一个子集。

参考全排列解法

类似于全排列问题，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 target 时，就将子集记录至结果列表。

而与全排列问题不同的是，本题集合中的元素可以被无限次选取，因此无须借助 selected 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改，初步得到解题代码：

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def backtrack(
    state: list[int],
    target: int,
    total: int,
    choices: list[int],
    res: list[list[int]],
):
    """回溯算法：子集和 I"""
    # 子集和等于 target 时，记录解
    if total == target:
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    for i in range(len(choices)):
        # 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
        if total + choices[i] > target:
            continue
        # 尝试：做出选择，更新元素和 total
        state.append(choices[i])
        # 进行下一轮选择
        backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res)
        # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop()


def subset_sum_i_naive(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
    """求解子集和 I（包含重复子集）"""
    state = []  # 状态（子集）
    total = 0  # 子集和
    res = []  # 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, total, nums, res)
    return res

向以上代码输入数组 [3,4,5][3, 4, 5] 和目标元素 99 ，输出结果为 [3,3,3],[4,5],[5,4][3, 3, 3], [4, 5], [5, 4] 。虽然成功找出了所有和为 99 的子集，但其中存在重复的子集 [4,5][4, 5] 和 [5,4][5, 4] 。

这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如下图所示，先选 44 后选 55 与先选 55 后选 44 是不同的分支，但对应同一个子集。

子集搜索与越界剪枝

为了去除重复子集，一种直接的思路是对结果列表进行去重。但这个方法效率很低，有两方面原因。

  • 当数组元素较多，尤其是当 target 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
  • 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。

重复子集剪枝

我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，例如以下情况。

  1. 当第一轮和第二轮分别选择 33 和 44 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 [3,4,… ][3, 4, \dots] 。
  2. 之后，当第一轮选择 44 时，则第二轮应该跳过 33 ，因为该选择产生的子集 [4,3,… ][4, 3, \dots] 和第 1. 步中生成的子集完全重复。

在搜索过程中，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右的分支被剪掉的越多。

  1. 前两轮选择 33 和 55 ，生成子集 [3,5,… ][3, 5, \dots] 。
  2. 前两轮选择 44 和 55 ，生成子集 [4,5,… ][4, 5, \dots] 。
  3. 若第一轮选择 55 ，则第二轮应该跳过 33 和 44 ，因为子集 [5,3,… ][5, 3, \dots] 和 [5,4,… ][5, 4, \dots] 与第 1. 步和第 2. 步中描述的子集完全重复。

不同选择顺序导致的重复子集

总结来看，给定输入数组 [x1,x2,…,xn][x_1, x_2, \dots, x_n] ，设搜索过程中的选择序列为 [xi1,xi2,…,xim][x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}] ，则该选择序列需要满足 i1≤i2≤⋯≤imi_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m ，不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝。

代码实现

为实现该剪枝，我们初始化变量 start ，用于指示遍历起始点。当做出选择 xix_{i} 后，设定下一轮从索引 ii 开始遍历。这样做就可以让选择序列满足 i1≤i2≤⋯≤imi_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m ，从而保证子集唯一。

除此之外，我们还对代码进行了以下两项优化。

  • 在开启搜索前，先将数组 nums 排序。在遍历所有选择时，当子集和超过 target 时直接结束循环，因为后边的元素更大，其子集和一定超过 target 。
  • 省去元素和变量 total ，通过在 target 上执行减法来统计元素和，当 target 等于 00 时记录解。
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def backtrack(
    state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：子集和 I"""
    # 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0:
        # 一定要加上list，否则res为[]，为了确保回溯过程中每一步的状态都能被正确地记录下来，而不会因为后续的变化而改变
        # 因为 state 是一个动态变化的列表，在回溯过程中会不断增删元素。如果直接把 state 添加到 res 中，而不是 list(state)，那么 res 中的所有引用都会指向同一个对象（即原来的 state），导致最终保存的结果是相同的，即空的 state。
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    # 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    for i in range(start, len(choices)):
        # 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        # 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target - choices[i] < 0:
            break
        # 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.append(choices[i])
        # 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res)
        # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop()


def subset_sum_i(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
    """求解子集和 I"""
    state = []  # 状态（子集）
    nums.sort()  # 对 nums 进行排序
    start = 0  # 遍历起始点
    res = []  # 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res)
    return res

下图所示为将数组 [3,4,5][3, 4, 5] 和目标元素 99 输入以上代码后的整体回溯过程。

子集和 I 回溯过程

个人总结

  1. for i in range(choices)是选择，是横向的过程
  2. backtrack()是回溯，是纵向的过程
  3. 本题避免重复子集的剪枝是纵向回溯部分，是在for循环里面进行剪枝

考虑重复元素的情况

question

给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。**给定数组可能包含重复元素，每个元素只可被选择一次**。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。

相比于上题，本题的输入数组可能包含重复元素，这引入了新的问题。例如，给定数组 [4,4^,5][4, \hat{4}, 5] 和目标元素 99 ，则现有代码的输出结果为 [4,5],[4^,5][4, 5], [\hat{4}, 5] ，出现了重复子集。

造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择。在下图中，第一轮共有三个选择，其中两个都为 44 ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 44 也会产生重复子集。

相等元素导致的重复子集

相等元素剪枝

为解决此问题，我们需要限制相等元素在每一轮中只能被选择一次。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。这意味着在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。

与此同时，本题规定每个数组元素只能被选择一次。幸运的是，我们也可以利用变量 start 来满足该约束：当做出选择 xix_{i} 后，设定下一轮从索引 i+1i + 1 开始向后遍历。这样既能去除重复子集，也能避免重复选择元素。

代码实现

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def backtrack(
    state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：子集和 II"""
    # 子集和等于 target 时，记录解
    if target == 0:
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    # 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
    # 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
    for i in range(start, len(choices)):
        # 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
        # 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
        if target - choices[i] < 0:
            break
        # 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
        if i > start and choices[i] == choices[i - 1]:
            continue
        # 尝试：做出选择，更新 target, start
        state.append(choices[i])
        # 进行下一轮选择
        backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res)
        # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
        state.pop()


def subset_sum_ii(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
    """求解子集和 II"""
    state = []  # 状态（子集）
    nums.sort()  # 对 nums 进行排序
    start = 0  # 遍历起始点
    res = []  # 结果列表（子集列表）
    backtrack(state, target, nums, start, res)
    return res

下图展示了数组 [4,4,5][4, 4, 5] 和目标元素 99 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。

子集和 II 回溯过程