二叉树遍历

从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。

二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。

层序遍历

如下图所示，层序遍历（level-order traversal）从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。

层序遍历本质上属于广度优先遍历（breadth-first traversal），也称广度优先搜索（breadth-first search, BFS），它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。

代码实现

广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。实现代码如下：

def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
    """层序遍历"""
    # 初始化队列，加入根节点
    queue: deque[TreeNode] = deque()
    queue.append(root)
    # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    res = []
    while queue:
        node: TreeNode = queue.popleft()  # 队列出队
        res.append(node.val)  # 保存节点值
        if node.left is not None:
            queue.append(node.left)  # 左子节点入队
        if node.right is not None:
            queue.append(node.right)  # 右子节点入队
    return res

"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    # 初始化二叉树
    # 这里借助了一个从数组直接生成二叉树的函数
    root: TreeNode = list_to_tree(arr=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
    print("\n初始化二叉树\n")
    print_tree(root)

    # 层序遍历
    res: list[int] = level_order(root)
    print("\n层序遍历的节点打印序列 = ", res)

复杂度分析

时间复杂度为 $O(n)$ ：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
空间复杂度为 $O(n)$ ：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $(n + 1) / 2$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。

前序、中序、后序遍历

相应地，前序、中序和后序遍历都属于深度优先遍历（depth-first traversal），也称深度优先搜索（depth-first search, DFS），它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。

下图展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一圈，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。

代码实现

深度优先搜索通常基于递归实现：

def pre_order(root: TreeNode | None):
    """前序遍历"""
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    res.append(root.val)
    pre_order(root=root.left)
    pre_order(root=root.right)


def in_order(root: TreeNode | None):
    """中序遍历"""
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    in_order(root=root.left)
    res.append(root.val)
    in_order(root=root.right)


def post_order(root: TreeNode | None):
    """后序遍历"""
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    post_order(root=root.left)
    post_order(root=root.right)
    res.append(root.val)

"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
    # 初始化二叉树
    # 这里借助了一个从数组直接生成二叉树的函数
    root = list_to_tree(arr=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
    print("\n初始化二叉树\n")
    print_tree(root)

    # 前序遍历
    res = []
    pre_order(root)
    print("\n前序遍历的节点打印序列 = ", res)

    # 中序遍历
    res.clear()
    in_order(root)
    print("\n中序遍历的节点打印序列 = ", res)

    # 后序遍历
    res.clear()
    post_order(root)
    print("\n后序遍历的节点打印序列 = ", res)

深度优先搜索也可以基于迭代实现，有兴趣的读者可以自行研究。

下图展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。

“递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点。
“归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。

复杂度分析

时间复杂度为 $O(n)$ ：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间。
空间复杂度为 $O(n)$ ：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，系统占用 $O(n)$ 栈帧空间。