二分查找

二分查找（binary search）是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

给定一个长度为 nn 的数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 −1-1 。示例如下图所示。

二分查找示例数据

如下图所示，我们先初始化指针 i=0i = 0 和 j=n−1j = n - 1 ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 [0,n−1][0, n - 1] 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。

接下来，循环执行以下两步。

  1. 计算中点索引 m=⌊(i+j)/2⌋m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor ，其中 ⌊ ⌋\lfloor \: \rfloor 表示向下取整操作。
  2. 判断 nums[m] 和 target 的大小关系，分为以下三种情况。
    1. 当 nums[m] < target 时，说明 target 在区间 [m+1,j][m + 1, j] 中，因此执行 i=m+1i = m + 1 。
    2. 当 nums[m] > target 时，说明 target 在区间 [i,m−1][i, m - 1] 中，因此执行 j=m−1j = m - 1 。
    3. 当 nums[m] = target 时，说明找到 target ，因此返回索引 mm 。

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 −1-1 。

二分查找流程

binary_search_step2

binary_search_step3

binary_search_step4

binary_search_step5

binary_search_step6

binary_search_step7

值得注意的是，由于 ii 和 jj 都是 int 类型，因此 i+ji + j 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 m=⌊i+(j−i)/2⌋m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor 来计算中点。

代码如下所示：

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def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找（双闭区间）"""
    # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    i, j = 0, len(nums) - 1
    # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while i <= j:
        # 理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），无须考虑大数越界问题
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
        else:
            return m  # 找到目标元素，返回其索引
    return -1  # 未找到目标元素，返回 -1

时间复杂度为 O(log⁡n)O(\log n) ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，因此循环次数为 log⁡2n\log_2 n 。

空间复杂度为 O(1)O(1) ：指针 ii 和 jj 使用常数大小空间。

区间表示方法

除了上述双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 [0,n)[0, n) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 [i,j)[i, j) 在 i=ji = j 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：

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def binary_search_lcro(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找（左闭右开区间）"""
    # 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    i, j = 0, len(nums)
    # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while i < j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
        elif nums[m] > target:
            j = m  # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
        else:
            return m  # 找到目标元素，返回其索引
    return -1  # 未找到目标元素，返回 -1

如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。

由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针 ii 和指针 jj 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错，因此一般建议采用“双闭区间”的写法。

两种区间定义

优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

  • 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 n=220n = 2^{20} 时，线性查找需要 220=10485762^{20} = 1048576 轮循环，而二分查找仅需 log⁡2220=20\log_2 2^{20} = 20 轮循环。
  • 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。

然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。

  • 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 O(nlog⁡n)O(n \log n) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 O(n)O(n) ，也是非常昂贵的。
  • 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
  • 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 nn 较小时，线性查找反而比二分查找更快。